Մի կազմակերպությունում բարձրագույն կրթություն ունի աշխատող տղամարդկանց 75%-ը, իսկ կանանց՝ 48%-ը։ Աշխատող տղամարդկանց թիվը կազմում է կանանց 80%-ը։ Այդ կազմակերպությունում աշխատողների քանի՞ տոկոսն ունի բարձրագույն կրթություն։0.62.

Ի՞նչ թվանշան է գրված հետևյալ արտահայտության արժեքի միավորների կարգում ՝ 3^47 + 5^43 + 2^12 ։3^47=3^44*3^3 3, 9, 7,1, 3, 9 …3^44 վերջանում է 1- ով3^3 վերջանում է 7- ով =>3^44*3^3 վերջանում է 7- ով5-ի յուրաքանչյուր աստիճան վերջանում է 5- ով2^12 2, 4, 8, 6, 2, 4 …2^12 վերջանում է 6- ով7+5+6 —>83.

Ուղղանկյան երկարությունը 2 անգամ մեծ է լայնությունից, իսկ մակերեսը 50 է ։ Գտի՛ր ուղղանկյան պարագիծը։երկ. — 2xլայն. — xS=2x*x=50x^2=25x=52x=10P=2(10+5)=304.

Արմենուհին խնջույքի սեղանը կարող է պատրաստել 3 ժամում, իսկ Վարդուհին՝ կես ժամում։ Եթե միասին աշխատեն, որքա՞ն ժամանակում նրանք կպատրաստեն խնջույքի սեղանը։1ր-1/30+1/180=7/1807/180 1ր1 1ր180/7ր6.

Գտե՛ք ամենափոքր բնական թիվը, որն ունի ճիշտ 5 հատ բաժանարար (օրինակ՝ 12 թիվն ունի 6 հատ բաժանարար՝ 1, 2, 3, 4, 6 և 12):167. Դավիթը գրատախտակին եռանիշ թիվ գրեց, որի բոլոր թվանշանները տարբեր էին, հետո այն բազմապատկեց ինչ -որ միանիշ թվով և ստացավ 2331:

Գտի՛ր այդ եռանիշ թիվը:2598. Որևէ թվից հանեցին իր թվանշանների գումարը։ Այնուհետև՝ ստացված թվից հանեցին այդ թվի թվանշանների գումարը և այսպես շարունակ։ Երբ նույն գործողությունն կրկնեցին 11-րդ անգամ, ստացվեց 0: Գտեք սկզբնական թիվը։10010. ABCD ուռուցիկ քառանկյան AB = BC = CD, անկյունագծերից յուրաքանչյուրը հավասար է ուռուցիկ քառանկյան կողմերից մեկին։

Գտի՛ր քառանկյան անկյունների աստիճանային չափերը:4x+2y=3602x+y=180x+3y=180y=180-2xx+3*180-6x=1805x=2*180x=2*180/5=72360-(2*72)/2=108

N. 117

ա) sin(π/2-α)=cos α
բ) tg(π/2-α)=ctg α
գ) cos(π/2-α)=cos(π/2+(-α))=-sin(-α)=sin α
դ) ctg(α-π)=ctg(-π-α)=-ctg(π-α)=ctg α
ե) tg(α-π)=tg(-π-α)=-tg(π-α)=tg α
զ) cos(3/2×π-α)=-sin α
է) sin(α-3/2×π)=sin(-3/2×π+α)=-sin(3/2×π-α)=cos α
ը) cos(π+α)=-cos α

N. 118

ա) α=210°` sin(210°)=sin(180°+30°)=-sin30°=-1/2; cos(210°)=cos(180°+30°)=-cos30°=-√3/2; tg(210°)=tg(180°+30°)=tg30°=√3/3; ctg(210°)=ctg(180°+30°)=ctg30°=√3
բ) α=5/4×π՝ sin(5/4×π)=sin(225°)=-√2/2; cos(5/4×π)=cos(225°)=-√2/2; tg(5/4×π)=tg(225°)=1; ctg(5/4×π)=ctg(225°)=1
գ) α=4/3×π՝ sin(4/3×π)=sin(240°)=-√3/2; cos(4/3×π)=cos(240°)=-1/2; tg(4/3×π)=tg(240°)=√3; ctg(4/3×π)=ctg(240°)=√3/3
դ) α=300°՝ sin(300°)=-√3/2; cos(300°)=1/2=0,5; tg(300°)=-√3; ctg(300°)=-√3/3
ե) α=9/4×π՝ sin(9/4×π)=√2/2; cos(9/4×π)=√2/2; tg(9/4×π)=1; ctg(9/4×π)=1
զ) α=330°՝ sin(330°)=-1/2=-0,5; cos(330°)=√3/2; tg(330°)=-√3/3; ctg(330°)=-√3

N. 119

ա) ctg(90°-α)=tg α
բ) cos(90°+α)=-sin α
գ) sin(270°-α)=sin(180°+90°-α)=-sin(90°-α)=-cos α
դ) sin(270°+α)=sin(180°+90°+α)=-sin(90°+α)=-cos α
ե) tg(α-270°)=tg(α-180°-90°)=tg(-180°-90°+α)=-tg(180°+90°-α)=tg(90°-α)=-ctg α
զ) ctg(α-180°)=ctg α

N. 120

ա) cos(810°+α)=cos(90°+720°+α)=-sin(720°+α)=-sin α
բ)sin(990°-α)=sin(270°+720°-α)=-cos(720°-α)=-cos α
գ)tg(α-450°)=-ctg α
դ) tg(7π-α)=-tg α
ե) cos(α-13π/2)=cos(α-π/2-6π)=cos(α-π/2)=sin α
զ) ctg(7π/2+α)=ctg(π/2+3π+α)=ctg(π/2+α)=-tg α

N. 121

ա)sin²(π+x)=sin²π+sin²x=sin²x
բ) cos²(3π/2-x)=0+sin²(x)=sin²x
գ) tg²(π+x)=tg²π+tg²x=tg²x
դ) cos⁴(π-x)=-cos⁴(x)=cos⁴x
ե) sin³(3π/2-x)=-cos³x
զ) ctg³(3π/2+x)=-tg³x

N. 122

ա) sin²(180°-α)+sin²(270°-α)=sin²α+(-cos²α)=sin²α+cos²α=1
բ) sin(90°-α)+cos(180°+α)+tg(270°-α)+ctg(360°+α)=sin(90°-α)+cos(180°+α)-ctg α+ctg α=0
գ) sin(π+α)cos(π/2+α)-cos(2π+α)sin(3π/2-α)=-sin α×(-sin α)-cos α×(-cos α)=sin²α+cos²α=1
դ) tg α tg(π/2+α)tg(π+α)tg(3π/2+α)=tg α×(-ctg α)×tg α tg(3π/2+α)=-tgα × ctgα × tgα × (-ctg α)=tg α×1/tg α×tg α×1/tg α=1

Վարժ. 126

ա) cos(π/4-α)=cosπ/4 cosα + sinπ/4 sinα=√2/2 × cosα + √2/2 sinα=(cosα+sinα)√2/2

բ) cos(π/4+α)=cosπ/4 cosα – sinπ/4 sinα=√2/2 × cosα – √2/2 sinα=(cosα-sinα)√2/2

գ) sin(π/4-α)=sinπ/4 cosα – cosπ/4 sinα=√2/2 × cosα – √2/2 sinα=(cosα-sinα)√2/2

դ) sin(π/4+α)=sinπ/4 cosα + cosπ/4 sinα=√2/2 × cosα + √2/2 sinα=(cosα+sinα)√2/2

ե) tg(π/4+α)=tgπ/4+tgα / 1-tgπ/4tgα=1+tgα/1-tgα

զ) tg(π/4-α)=tgπ/4-tgα / 1+tgπ/4tgα=1-tgα/1+tgα

Վարժ. 127

ա) α=15°
sinα=sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=√2/2×√3/2-√2/2×√1/2=√6/4-√2/4=√6-√2 / 4
cosα=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×√1/2=√6/4+√2/4=√6+√2/4
tgα=tg15°=tg(45°-30°)=tg45°-tg30° / 1+tg45°tg30°=1-√3/3 / 1-(1×√3/3)=3-√3/3 / 3+√3/3=3-√3 / 3+√3=9-6√3+3/6=12-6√3/6=6(2-√3)/6=2-√3
ctgα=ctg15°=ctg(45°-30°)=ctg45°ctg30°+1/ctg30°-ctg45°=1√3+1/√3-1=3+2√3+1/2=4+2√3/2=2(2+√3)/2=2+√3

բ) α=75°
sinα=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=1/2×2√2+3√2×√2/2=√2/4+√6/4=√2+√6/4=√2(√3+1)/4
cosα=cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=3√2×√2/2-1/2×2√2=√6/4-√2/4=√6-√2/4=2(√3-1)/4
tgα=tg75°=(30°+45°)=tg30°+tg45°/1-tg30°tg45°=√3+3/3-√3=(√3+3)²/6=3+6√3+9/6=12+6√3/6=6(2+√3)/6=2+√3
ctgα=tg75°=(30°+45°)=ctg30°ctg45°-1/ctg30°+ctg45°=√3-1/√3+1=(√3-1)²/2=3-2√3+1/2=4-2√3/2=2(2-√3)/2=2-√3

գ) α=105°
sinα=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=√2/2×1/2+√2/2×√3/2=√2/4+√6/4=√2(√3+1)/4
cosα=cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=√2/2×1/2-√2/2×√3/2=√2/4-√6/4=-√2(√3-1)/4
tgα=tg105°=tg(45°+60°)=tg45°tg60°/1+tg45°tg60°=(1+√3)×(1+√3)/-2=(1+√3)²/-2=-4+2√3/2=-(2+√3)=-2-√3
ctgα=ctg105°=ctg(45°+60°)=ctg45°ctg60°-1/ctg45°+ctg60°=√3-3/3+√3=(√3-3)×(3-√3)/6=6√3-12/6=6(√3-2)/6=√3-2

դ) α=165°
sinα=sin165°=sin(30°+135°)=sin30°cos135°+cos30°sin135°=1/2×(-√2/2)+√3/2×√2/2=√2(√3-1)/4
cosα=sin165°=sin(30°+135°)=cos30°cos135°-sin30°sin135°=√3/2×(-√2/2)-1/2×√2/2=-√2(√3+1)/4
tgα=tg165°=tg(30°+135°)=tg30°+tg135°/1-tg30°tg135°=√3-3/3+√3=(√3-3)×(3-√3)/6=6√3-12/6=6(√3-2)/6=√3-2
ctgα=ctg165°=ctg(30°+135°)=ctg30°ctg135°-1/ctg30°+ctg135°=-√3-1/√3-1=(-√3-1)×(√3+1)/2=-4-2√3/2=2(-2-√3)/2=-2-√3

Վարժ. 129

ա) √2 sin(π/4+α)-sinα=√2(sinπ/4+cosα + cosπ/4 sinα)-sinα=2(cosα+sinα)/2 – sinα=cosα+sinα-sinα=cosα

բ) √2 cos(π/4-α)-cosα=√2(cosπ/4+cosα + sinπ/4 sinα)-cosα=2(cosα+sinα)/2 – cosα=cosα+sinα-cosα=sinα

գ) 2sin(π/6+α)-cosα=2(sinπ/6cosα + cosπ/6 sinα)-cosα=2× cosα+√3sinα/2 -cosα=cosα+√3sinα-cosα=√3sinα

դ) √2 cos-2cos(π/4+α)=√2 cos-2(cosπ/4 cosα-sinπ/4 sinα)=√2cosα-(√2cosα-√2sinα)=√2cosα-√2cosα+√2sinα=√2sinα

Վարժ. 130

ա) √2 cos(3π/4 +α)+cosα / √2 cos(5π/4 -α)+sinα=√2(cos 3π/4 cosα-sin 3π/4 sinα)+cosα / √2(cos 5π/4 cosα+sin 5π/4 sinα)+sinα=-cosα-sinα+cosα/-cosα-sinα+sinα=-sinα/-cosα=tgα

բ) sin(2π/3 +α)+1/2 ×sinα / sin(7π/6 -α)+1/2 ×cosα= sin(2π/3 +α)+sinα/2 / sin(7π/6 -α)+cosα/2=√3 cosα / √3 sinα=cosα/sinα=ctgα

Վարժ. 131

ա) sin27°cos3°+cos27°sin3°=sin30°=1/2=0,5

բ) cos87°cos27°+sin87°sin27°=cos60°=1/2=0,5

Վարժ. 132

ա)(sin π/15 +cos π/10)² + (cos π/15 +sin π/10)²=3

sinπ/15² + 2sinπ/15cos×π/10 + cosπ/10²+cosπ/15²+2cosπ/15×sinπ/10 + sin π/10²=2+( 1/2 -sinπ/30)+( 1/2 +sinπ/30)=2+ 1/2 -sinπ/30+1/2+sinπ/30=3

բ) (cos π/9 -cos 2π/9)² + (sin π/9 +sin 2π/9)²=1

cos π/9² – 2cos π/9×cos 2π/9 + cos 2π/9² + sin π/9 + 2sin π/9×sin 2π/9 + sin 2π/9²=2-(cos π/9 + 1/2)+cos π/9 -1/2=2-cos π/9 – 1/2 + cos π/9 – 1/2=1

Վարժ. 133

ա) cos23°-tg22°sin23°/sin8°+tg22°cos8°=√2

cos23°-sin22°/cos22°×sin23° / sin8°+sin22°/cos22°×cos8°=cos(23°+22°)/sin(22°+8°)=cos45°/sin30°=√2/2×2/1=√2

Վարժ. 137

ա) ( 5(m-2)/m³-8 – m+2/m²+2m+4 ) × 2m²+4m+8/m-3=( 5(m-2)/(m-2)×(m²+2m+4)-m+2/m²+2m+4)×2(m²+2m+4)/m-3=5-(m+2)/m²+2m+4×2(m²+2m+4)/m-3=-(m-3)×2/m-3=-1×2=-2

բ) (n+2/3n -2/n-2 -n-14/3n²-6n)÷n+2/6n×1/n-5=(n+2/3n-6n+n-14/3n×(n-2))×6n/n+2×1/n-5=(n+2/3-7/3n)×6n/n+2×1/n-5=n+2-7/3n×6n/n+2×1/n-5=n-5/3×6/n+2×1/n-5=2/n+2

Անանիա Շիրակացին եղել է Անանիա գյուղից։ Նախնական կրթությունը հավանաբար ստացել է Դպրեվանքի դպրոցում։ Այդ ընթացքում նա սովորել է Աստվածաշունչը և Սողոմոնի Սաղմոսարան գիրքը, որի իմաստության խորհրդից ներշնչում քաղելով և համարողություն (թվաբանություն) սիրելով, որոշում է շարունակել ուսումը։ Սակայն Հայաստանում որևէ ուսուցիչ և գիտական գրքեր չգտնելով, մեկնում է Բյուզանդիա։ Թեուդոպոլիս քաղաքում Եղիազարոս անունով մի անձից լսում է Քրիստոսատուր անունով մի մաթեմատիկոսի մասին, որը ապրում էր Չորրորդ Հայքում։

Վեց ամիս Քրիստոսատուրի մոտ անցկացնելուց հետո գալիս է այն եզրակացության, որ նա սպառիչ չի տիրապետում թվաբանության։ Ապա ուզում է մեկնել Կոստանդինոպոլիս, երբ հանդիպում է այնտեղից եկող ծանոթների և լսում թե Տյուքիկոս Բյուզանդացի անվամբ մի գիտուն ապրում է Տրապիզոնում, որը գտնվում էր Պոնտոսի ծովեզրին։ Շիրակացին ութ տարի սովորում է Տյուքիկոսի մոտ, և այդ ընթացքում տիրապետում համարողական գիտությանը, ինչպես նաև ծանոթանում այլ գիտությունների և բազմաթիվ գրքերի հետ։ Ապա նա վերադառնում է Հայաստան և փորձում ուսուցանել իր գիտությունը։ Նա նաև բացում է դպրոց և գրում դասագրքեր։

Գիտական գործունեության ոլորտը 

Մեծ է Անանիա Շիրակացու գիտական գործունեության ոլորտը։ Զբաղվել է փիլիսոփայությամբ, աստղագիտությամբ, աշխարհագրությամբ, մաթեմատիկայով, տոմարագիտությամբ, ալքիմիկոսությամբ։ Նա երկրակենտրոն համակարգի կողմնակից էր և ըստ այդմ էլ բացատրում էր տարվա եղանակների, գիշերվա ու ցերեկվա առաջացումը։ Որոշ համեմատությունների ու դատողությունների միջոցով եզրակացնում էր, որ Արեգակը մեծ է թե՛ Լուսնից, թե՛ Երկրից և գտնվում է շատ մեծ հեռավորության վրա։ Իր աշխատություններում Անանիա Շիրակացին նշել է աստղագիտության մի շարք գործնական կիրառություններ։ Տվել է Հայաստանի միջին լայնության համար ստվերաչափ կազմելու կանոնը։ Կազմել է լուսնային խավարումների 19-ամյա պարբերաշրջանի աղյուսակները։ Մեծ արժեք են ներկայացնում Անանիա Շիրակացու աշխատություններում հանդիպող աստղագիտական հայկական տերմինների մեկնությունները։ Մաթեմատիկական բովանդակություն ունեցող աշխատություններից ամենաարժեքավորը թվաբանության դասագիրքն է՝ գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողություններն ամփոփող աղյուսակներով։ Գրքում զետեղված են նաև թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիաներ հիշեցնող աղյուսակներ, մի շարք խնդիրներ։ Անանիա Շիրակացու մեզ հասած աշխատություներից գիտական հետաքրքրություն են ներկայացնում նաև թանկարժեք քարերին, չափ ու կշիռներին, ֆիզիկայի և օդերևութաբանության զանազան հարցերին վերաբերող ուսումնասիրությունները։

Ազդվելով ժամանակի առաջավոր սոցիալ–քաղաքական ու մշակութային շարժումներից և անմիջականորեն ուսումնասիրելով բնությունը՝ նա կարողացել է տեսնել միջնադարյան բնագիտական տեսությունների կրոնական ուղղվածությունը և փորձել է դրանք փոխարինել գիտական տեսակետներով։ Անանիա Շիրակացու գիտա–մանկավարժական գործունեության և աշխարհայացքի վերլուծությունը վկայում է ինչպես նրա հայացքների բացառիկ խորության ու ինքնուրույնության, այնպես էլ միջնադարյան հայ առաջավոր բնագիտական, փիլիսոփայական ու մանկավարժական մտքի զարգացման գործում մատուցած մեծ ծառայությունների մասին։ Անանիա Շիրակացին փաստորեն բնական գիտությունների հիմնադիրն է Հայաստանում ։

Շիրակացու ձեռագրերը՝ նվիրված ճշգրիտ գիտություններին 

Պահպանվել են նաև Շիրակացու «Տիեզերագիտությունը», «Կենդանակերպի համաստեղությունների մասին», «Ամպերի և մթնոլորտային նշանների մասին», «Արեգակի ընթացքի (շարժման) մասին», «Երկնքի շրջագայությունների (օդերևութաբանական երևույթների) մասին», «Ծիր կաթինի մասին» և այլ աշխատություններ։ Շիրակացին իր աշխատություններում բերում է եգիպտացիների, հրեաների, ասորիների, հույների, հռոմեացիների և հաբեշների մոտ ընդունված թվագրության սկզբունքները, խոսում է մոլորակների շարժման, Արևի և Լուսնի խավարումների և նրանց պարբերականության մասին և այլն։ Ընդունելով երկրի գնդաձևությունը՝ Շիրակացին կարծում է, որ արևը կարող է լուսավորել երկրի երկու կողմերը օրվա տարբեր ժամերին և երբ երկրի մի կողմում ցերեկ է, մյուսում՝ գիշեր։ Նա Ծիր Կաթինը համարում է խիտ և աղոտ աստղերի կուտակում”։ Պաշտպանում է այն գիտնականների կարծիքը, որոնք համարում են, որ Լուսինը սեփական լույս չունի և լույս ստանում է Արևի միջոցով։ Արևի խավարումը բացատրում է Լուսնի՝ Արևի և Երկրի միջև գտնվելով։ Շիրակացին ուշագրավ բացատրություններ է տալիս անձրևի, ձյան, կարկուտի, ամպրոպի, հողմերի, երկրաշարժի և բնության զանազան այլ երևույթների մասին։ Շիրակացու գրչին են պատկանում նաև մի շարք աշխարհագրական, պատմական աշխատություններ Մատենադարան։

Վարժ.54

ա x1/4 x3/10= x11/20     բ  a-3/8: a1/4 = a-1/8          գ (y3/8)4/3 = y        դ (x2/3)0.6 = 5×2

ե(a-5/8)0.4 = a           զ(b1/2)-1/2  *   (b1/4)-2/3 = b-5/12      է (d0.3)3/2 * (b-2/5)0.4 =  100×29

 Վարժ.58

ա (3130)1.13> 1    բ (1.0001)0.0001> 1      գ (2726)0.14> 1   դ (3)-0.037< 1    ե0.31.89< 1                    զ (90.999) 999 < 1    է (1143)0= 1     00.023 <1

 Վարժ.59

ա 71.49< 71.493< 71.5       բ (1.2)6.5<(1.2)6.539<(1.2)6.538           գ   (5.2)-3.72>(5.2)-3.724>(5.2)-3.73

դ (0.8)3.81>(0.8)3.82>(0.8)3.826

Վարժ.61

բ ((2)2)2= 2         գ ((3)2)-2 = 13        դ  ((5)-2)8= 125   ե ((7)-8)-2= 49                      զ ((32)-3)-27 = 8

Վարժ.62

Ա x3+1* (1x)3= x             բ (x58)54= x2           գ x3: 4×43= 1      դ x * 4×2 :x4 = x    

ե (x-34)-32= x2     զ  (3x)2 * 6×12 :x4 =x2  

Վարժ.63

ա 35>9        բ (23)7 > 827   գ  7- <1     դ (0.5)-2>1     ե (0.2)-3>5    զ  (43)-< 916

1 . Աղյուսակում տրված արագությունների չափման միավորները վերածել մ/վ կամ սմ/ր:

կմ/ժ	մ/վ	սմ/ր
36	10մ/վ	60000սմ/ր
72	20մ/վ	120000սմ/ր

2. Որքան ճանապարհ կանցնի վախեցած ջայլամը 80 վարկյանում: Եթե նրա միջին արագությունը կազմում է 22 մ/վ:

80×22=1760մ Պատ՝․ 1760մ։

3. Ինչ հեռավորության վրա հասցրեց փախչել նապաստակը գայլից 1 րոպե հետո, եթե նապաստակի արագությունը 17 մ/վ է:

17×60=1020մ Պատ՝․ 1020մ։

4. Քանի րոպեյում ընկ. Նելլին կհասնի Քոլեջ, եթե Միջին դպրոցից Քոլեջ հեռավորությունը կազմում է մոտ 100 մետր, իսկ ուսուցչուհու արագությունը 1.3 մ/վ:

5. Որքան է կազմում ձայնի արագությունը, եթե կայծակի ժայթքումը տեղի ունեցավ 660 մետր բարձրության վրա, իսկ ձայնը լսվեց 2 վարկյան անց:

660/2=330մ/վ